Maths : le problème de l’urinoir
Le 19 novembre, c’est la journée mondiale des toilettes. L’occasion ou jamais de citer une étude où les mathématiques font irruption dans l’intimité des WC.
Les articles publiés dans les revues scientifiques obéissent tous, à quelques variantes près, aux mêmes règles de présentation. Sous le titre et le nom des signataires, on trouve un résumé, puis l’article proprement dit et, enfin, les références. En 2010, dans la revue Lecture Notes in Computer Science, est parue une étude au titre mystérieux (surtout si l’on considère que ce journal traite essentiellement de science informatique) : “Le problème de l’urinoir”. La lecture du résumé a de quoi faire sourire… et un peu réfléchir, ce qui est le propre de la science improbable : “Un homme entre dans des toilettes pour messieurs et remarque “n” urinoirs libres. Lequel devrait-il choisir pour maximiser ses chances de conserver son intimité, c’est-à-dire de minimiser les chances que quelqu’un vienne occuper un urinoir voisin du sien ? Dans cet article, nous tentons de répondre à cette question en considérant une variété de comportements habituels dans les toilettes pour hommes.”
Pour les lecteurs de ce blog qui sont des lectrices et n’ont donc pas forcément fréquenté les lieux d’aisances en commun, le problème de l’urinoir est un problème réel. Le relâchement minimum nécessaire à la miction n’est pas toujours évident à atteindre quand un congénère vient se débraguetter à 20 centimètres de vous ou lorsque vous sentez sur vous le regard d’autres hommes à la vessie pleine attendant, en dansant d’un pied sur l’autre, que vous ayez fini de faire chanter la porcelaine. C’est généralement à ce moment que le blocage survient comme l’illustre une scène d’anthologie (ou presque) du film Mon nom est Personne
Il existe deux solutions pour préserver un minimum d’intimité dans les pissotières en ligne. La première consiste à écarter les jambes de manière à occuper également les urinoirs de droite et de gauche.
Si elle évite également à ces messieurs de mouiller leurs chaussures, la position est néanmoins assez inconfortable et ne permet pas forcément la décontraction des sphincters… La seconde solution, qui est explorée dans l’article de Lecture Notes in Computer Science, consiste à sélectionner son urinoir de façon à réduire au maximum la probabilité pour qu’un nouvel arrivant vienne se camper à côté de vous. L’intuition dicte en général de se positionner à l’un des bouts de la rangée mais est-ce justifié mathématiquement parlant ? Tout dépend du comportement des autres, expliquent les auteurs. Ces spécialistes des algorithmes se sont donc amusés à traduire ces comportements en formules. On trouve ainsi le paresseux, qui vient vider sa vessie dans l’urinoir libre le plus près de la porte, le coopératif, qui calcule pour les autres et tâchera de choisir une place permettant au maximum d’arrivants ultérieurs d’avoir leur intimité, le distant, qui se débrouillera pour être le plus loin des autres, et l’aléatoire, qui se mettra n’importe où pourvu que les urinoirs de droite et de gauche soient vides.
Evidemment, le problème dépend d’abord du nombre “n” de faïences et aussi de savoir si “n” est pair ou pas. En effet, la “saturation” de 5 ou de 6 urinoirs est la même : 3 bonshommes suffisent dans les deux cas pour que le suivant à entrer dans les toilettes ait au moins un voisin, quelle que soit sa stratégie. Imaginons une ligne d’urinoirs avec 6 emplacements, le numéro 1 étant le plus loin de la porte et le 6 le plus près. Vous êtes le premier à entrer. Si vous vous installez au 1 et si l’homme qui vous suit est un paresseux ou un distant, il se mettra au 6. En revanche, un coopératif pourra se poser devant le 3, le 4, le 5 ou le 6 (quatre choix possibles). S’il n’y a que 5 places, le coopératif n’aura plus que deux choix (le 3 ou le 5), car se mettre au 4 impliquerait que le troisième homme serait obligé de venir uriner près d’un des deux occupants des lieux.
La question se complique si, comme c’est souvent le cas, une ou plusieurs personnes se trouvent déjà aux toilettes quand vous y pénétrez. A lire l’étude, c’est tout juste s’il ne faut pas un ordinateur pour calculer quelle sera la place où vous avez le maximum de chances d’être le plus longtemps sans voisin. Au terme de l’article, émaillé de quelques formules mathématiques, vous êtes soulagé (si je puis dire) d’apprendre que la stratégie instinctive – à savoir se mettre devant l’urinoir le plus loin de la porte si son voisin est libre – est la plus efficace la plupart du temps. En conclusion, les auteurs soulignent que les variantes du problème sont aussi nombreuses qu’insoupçonnées et ils encouragent leurs lecteurs à y réfléchir à chaque fois qu’ils devront se rendre dans ces lieux, sur une aire d’autoroute ou dans un stade.
Pour terminer, que personne ne pense qu’il s’agit là d’un problème exclusivement masculin. Avec l’arrivée de la version féminine de l’urinoir, non seulement ces dames ne feront plus la queue pour aller aux toilettes mais elles donneront du travail aux mathématiciens…
Pierre Barthélémy
lire le billetLa planète n’est pas en danger. L’humanité oui
C’est un des articles qui a fait le “buzz” du début de la semaine sur le site Internet du Monde. Son titre : “Pour sauver la planète, mieux vaudrait que les Américains cessent de se reproduire”. Le papier racontait qu’une association américaine de défense de l’environnement profitait de l’effet “7 milliards d’habitants” pour demander aux personnes habitant aux Etats-Unis de réfléchir à deux fois avant de procréer, étant donné qu’elles ont le plus fort impact en termes d’émissions de gaz carbonique. On pouvait y voir une série d’affichettes vantant les mérites des préservatifs pour la préservation (justement !) d’espèces animales, le tout avec des slogans à rimes dont voici un exemple traduit en français par mes soins : “Enveloppez soigneusement… Sauvez l’ours blanc.”
Au-delà de ces publicités, on a pu constater, au fil des dernières années, une multiplication des campagnes médiatiques pour, je cite, “sauver la planète”. Pour “sauver la planète”, ne mangeons plus de viande car une vache élevée, c’est x hectolitres d’eau, y tonnes de CO2, z flatulences et éructations remplies de méthane. Pour sauver la planète, préférons le vélo à l’auto sur les petits trajets. Pour sauver la planète, isolons bien nos maisons et ne les chauffons qu’à 19°C. Pour sauver la planète, préférons des appareils électro-ménagers moins gourmands en électricité ou des ampoules basse consommation. Pour sauver la planète, recyclons nos déchets. Pour sauver la planète, lavons-nous moins souvent et nos vêtements aussi. Pour sauver la planète, consommons local. Pour sauver la planète, sortons du capitalisme (pour reprendre le titre d’un livre de mon confrère du Monde, Hervé Kempf). Etc.
A lire tous ces slogans, j’ai envie de dire une chose. Ceux qui les ont écrits se trompent de sauvetage. Ce n’est pas la planète qu’il faut sauver en agissant ainsi, mais bien l’humanité et, plus précisément, si l’on enlève l’hypocrisie, notre style de vie très confortable : je doute en effet que la majorité des humains mangent de la vache tous les jours, roulent en voiture, chauffent leurs maisons, aient quantité de grille-pain, de mixers et de machines à laver. Pour être très clair : la planète n’est pas à sauver parce qu’elle n’est pas en danger. Même si certains considèrent que nous sommes entrés dans une nouvelle ère géologique, l’anthropocène, marquée par la capacité de l’homme à bouleverser son écosystème, à le polluer, à modifier la composition atmosphérique, à détruire massivement des espèces et des ressources naturelles, à créer des tremblements de terre, la planète n’en a cure. Pour la simple raison qu’elle a connu des révolutions bien plus profondes, des changements climatiques drastiques, cinq grandes extinctions de masse, des hivers nucléaires sans nucléaire mais avec volcans, des perturbations orbitales, des bombardements de météorites ou d’astéroïdes, des glaciations incroyables des dislocations de continents, et qu’elle s’en est toujours remise. La vie a toujours repris ses droits même lorsque, il y a 250 millions d’années, 96% des espèces marines ont disparu ainsi que 70% des vertébrés terrestres.
Pourquoi ? Parce que ce système naturel qu’est la Terre s’ajuste aux conditions qui lui sont imposées. Dans le cas du réchauffement climatique, la planète retrouvera, dans quelques siècles, un équilibre. Simplement, il sera bien loin de celui que nous connaissons et nos descendants risquent d’y laisser des plumes : parce que les extrêmes climatiques seront plus fréquemment atteints, parce que les villes côtières seront fragilisées par la montée des océans quand elles ne disparaîtront pas, parce que l’accès aux ressources naturelles de base telles que l’eau potable et la nourriture sera nettement plus problématique voire une source de conflits, parce que les services rendus gratuitement par la nature seront réduits en raison de la perte de biodiversité.
Invoquer la sauvegarde de la planète pour inciter les gens à un mode de vie plus respectueux de l’environnement est un argument défectueux. Ne pas expliciter qu’en ayant dépassé les limites de notre biosphère nous mettons en péril la survie même de notre propre espèce s’avère une manière de fermer les yeux sur nos responsabilités et sur les défis qui nous attendent. Comme une façon étrange de nous extraire de notre écosystème et d’oublier que nous constituons l’une des “cibles” des changements globaux, parce que nous sommes fragiles. C’est bien l’humanité qu’il faut sauver. La planète, elle, se sauvera toute seule.
Pierre Barthélémy
lire le billetPlanète des singes : êtes-vous aussi intelligent(e) qu’eux ?
Sorti il y a une semaine, La Planète des singes : les origines est LE blockbuster scientifique de l’été. Un film qui servira de prétexte pour aborder les questions de l’expérimentation animale sur les primates, des droits que l’homme pourrait accorder à ses frères grands singes, du risque qu’il y aurait à “humaniser” des singes par voie génétique ou médicamenteuse, de ces grosses sociétés pharmaceutiques qui poussent leurs chercheurs à mettre sur le marché des molécules qu’ils n’ont pas suffisamment testées, etc.
Ce ne sont pas ces sujets ô combien sérieux qui m’ont titillé le cerveau en sortant du cinéma. Nous le savons tous, même ceux qui n’ont pas vu cette “préquelle” du célèbre film de Franklin Schaffner
Par bien des indices, le film montre que le traitement qu’ils ont reçu n’a fait qu'”humaniser” les singes : il leur a conféré des aptitudes semblables aux nôtres. César apprend la langue des signes ; son “maître”, le chercheur Will Rodman, dit que son QI a doublé, mais se garde bien de donner un chiffre ; le chimpanzé joue aux échecs sans que l’on puisse estimer sa force ; il est capable de raisonner, d’élaborer un plan complexe (voler un canif pour fabriquer un outil qui ouvrira la porte de sa cage), puis, l’action allant crescendo, d’organiser une grande évasion, de gagner une bataille contre les forces de police et, enfin, de parler pour partager ses pensées et ses sentiments. Tout cela n’est guère quantifiable et ne nous permet pas de nous différencier. Pourtant, au détour du scénario, on voit que les chercheurs évaluent l’intelligence des singes grâce aux tours de Hanoï, un divertissement utilisé par les spécialistes de la cognition. Ce jeu a été inventé par le mathématicien français Edouard Lucas (1842-1891) et se présente sous la forme de trois piquets sur lesquels on peut enfiler des disques de diamètres différents.
La photo ci-dessus montre la configuration de départ, avec les disques empilés du plus grand en bas au plus petit en haut. Le but du jeu consiste à transférer la tour du piquet de gauche au piquet de droite, en ne déplaçant à chaque mouvement qu’une rondelle et en ne pouvant la poser que sur un piquet vide ou sur une rondelle plus grande qu’elle. Dans ses Récréations mathématiques, Edouard Lucas avait prétendu, pour expliquer le nom de “tours de Hanoï”, que le jeu avait été imaginé par un ami nommé N. Claus de Siam (anagramme de Lucas d’Amiens, ville natale du mathématicien), soi-disant professeur au collège de Li-Sou-Stian (anagramme du collège Saint-Louis, à Paris, où Lucas enseignait). Pour enfoncer le clou dans le registre de l’exotisme facétieux, Edouard Lucas avait ainsi présenté le jeu, sous le titre Les brahmes tombent que Pierre Dac n’aurait pas renié : ” N. Claus de Siam a vu, dans ses voyages pour la publication des écrits de l’illustre Fer-Fer-Tam-Tam, dans le grand temple de Bénarès, au-dessous du dôme qui marque le centre du monde, trois aiguilles de diamant, plantées dans une dalle d’airain, hautes d’une coudée et grosses comme le corps d’une abeille. Sur une de ces aiguilles, Dieu enfila au commencement des siècles, 64 disques d’or pur, le plus large reposant sur l’airain, et les autres, de plus en plus étroits, superposés jusqu’au sommet. C’est la tour sacrée du Brahmâ. Nuit et jour, les prêtres se succèdent sur les marches de l’autel, occupés à transporter la tour de la première aiguille sur la troisième, sans s’écarter des règles fixes que nous venons d’indiquer, et qui ont été imposées par Brahma. Quand tout sera fini, la tour et les brahmes tomberont, et ce sera la fin des mondes ! “
Les tours de Hanoï suivent une loi mathématique bien précise. En fonction du nombre “n” de disques présents au début du jeu, celui-ci pourra être résolu en un nombre minimum de coups égal à 2n-1. Si, comme dans le film, on compte 4 rondelles, la tour peut être transférée en 2x2x2x2-1 coups, soit 15 mouvements. Si, comme sur la photo ci-dessus, on part avec 8 disques, il faut au minimum 2x2x2x2x2x2x2x2-1 coups, soit 255 mouvements, pour y parvenir. Si, comme dans la présentation de Lucas, il y a 64 disques, la résolution du jeu nécessitera quelque 18,4 milliards de milliards de coups. A supposer que l’on puisse jouer 1 coup par seconde, ce qui est très rapide, et que l’on ne se trompe jamais, il faudra presque 585 milliards d’années pour en venir à bout…
Dans le film, un des singes mutants réussit à résoudre les tours de Hanoï à quatre disques dans le minimum de coups requis, soit 15. C’est donc grâce à ce seul et maigre indice que vous allez pouvoir vous comparer à César et à ses collègues (étant donné que vous savez faire tout le reste, y compris tataner un peloton de policiers). Testez-vous ici. J’imagine que les singes, une fois le film terminé, ont eu le loisir de s’entraîner avec davantage de rondelles. Sur le site que j’ai mis en lien ci-dessus, vous pouvez relever le défi en allant jusqu’à huit, ce qui nécessite un peu de concentration pour obtenir le résultat parfait (César, si tu me lis, envoie-moi un e-mail pour me dire quel score tu as réussi) :
En réalité, résoudre les tours de Hanoï, exceller au jeu d’échecs, avoir un quotient intellectuel élevé, ne sont pas à coup sûr le gage d’une grande intelligence, car tout dépend de ce que l’on met derrière ce mot. Pour avoir couvert pendant quinze ans l’actualité internationale du jeu d’échecs pour Le Monde et côtoyé nombre de champions de ce noble jeu, je peux vous assurer que certains et non des moindres, à l’image du Mirko Czentovic inventé par Stefan Zweig dans son merveilleux roman Le joueur d’échecs
smartphone le plus à la mode ou le dernier disque de Larusso, mais pour reprendre leur liberté. Et échapper à leur condition humaine.
Pierre Barthélémy
lire le billet
Pourquoi les play-boys attirent les femmes
” Mais qu’est-ce qu’elles lui trouvent toutes ? ” Cette question énervante s’est un jour ou l’autre immiscée dans notre cerveau à la vue du bellâtre de la Grande-Motte aux faux airs de David et Jonathan, auprès duquel roucoulait un parterre de filles, et qui partait à la fin de la soirée en emmenant Corinne sur sa 125 cm3 alors qu’il venait juste de larguer Stéphanie… Comment expliquer cet effet play-boy, cette attirance des femmes pour… les hommes à femmes ? Selon certains spécialistes des comportements, pas la peine de chercher les clés de la séduction chez le séducteur (phéromones, forme du visage, tonalité de la voix, etc.). Les clés sont chez les femmes : peut-être les demoiselles et dames qui en pincent pour les tombeurs ne font-elles que s’imiter les unes les autres.
L’hypothèse sous-jacente est simple : je vois une femme séduite par un homme, c’est donc qu’il constitue un bon partenaire, je vais le choisir à mon tour. Cela peut paraître horriblement machiste mais plusieurs travaux récents ont pointé cette imitation dans la sélection du partenaire, ce que les Anglo-Saxons appellent le “mate copying” et que les enfants ont parfaitement senti en chantant “Oh, la copieuse, elle est amoureuse”. L’avantage procuré par ce comportement n’est pas évident, ce qui n’empêche pas le comportement d’exister bel et bien. Dans une étude publiée en 2008 par le Personality and Social Psychology Bulletin, Sarah Hill et David Buss (université du Texas) ont montré qu’une femme trouvait plus attirant un homme photographié avec une autre femme que le même homme tout seul ou en compagnie d’un autre homme. A noter que l’inverse n’est pas vrai : un homme voyant une femme photographiée en compagnie d’un autre homme la trouvera moins attirante que vue toute seule ou en compagnie d’autres femmes. Les hommes préfèrent ne pas avoir de rival… Un an auparavant, une étude analogue avait montré que les hommes vus avec une femme qui leur souriait semblaient plus attirants pour les observatrices féminines que les mêmes messieurs vus avec une femme qui leur faisait la tête. Le succès de la séduction appelle d’autres conquêtes…
Avant d’être étudié chez les hommes, le “mate copying” a été mis en évidence chez les femelles de nombreux animaux (poissons, oiseaux, mammifères), ce qui prouve qu’ils sont parfaitement capables d’extraire et d’exploiter les informations sociales mais aussi que ce comportement d’imitation est peut-être transmis de génération en génération sur des bases non pas génétiques mais “culturelles”. Le plus fou, c’est que l’on a aussi retrouvé cette imitation dans la sélection du partenaire chez… des mouches, des drosophiles, dont le cerveau est beaucoup plus petit qu’une tête d’épingle. L’expérience, publiée dans Current Biology en 2009, est assez étonnante. Ses auteurs ont eu l’idée de saupoudrer des mâles de poudres rose et verte fluo, afin de créer deux catégories bien distinctes. Ils ont mis dans un tube un mâle vert et deux femelles, la première avec lui, la seconde séparée du couple par une paroi transparente. Comme dans un peep show, le mâle et la première femelle se sont accouplés sous les yeux de la “voyeuse”. Puis ce couple a été remplacé par un autre, constitué d’un mâle rose et d’une femelle qui, venant elle aussi de copuler, n’avait pas envie de remettre le couvert et a refusé les avances du mâle. La scène se déroulait là encore sous les yeux de la femelle témoin. Enfin, dans un troisième temps, celle-ci a été mise en présence de deux mâles, un rose et un vert, sans que plus aucune paroi ne les sépare. Et que croyez-vous qu’il arriva. Dame drosophile choisit de préférence le play-boy vert et non pas le pauvre garçon rose qui s’était pris un râteau. L’expérience a été reproduite de nombreuses fois et inversée (le séducteur en rose, l’éconduit en vert), montrant que, quelle que fût la couleur, la mouche calquait son choix sur celui de la femelle qu’elle avait vue s’accoupler.
Un conseil, donc, aux hommes qui me lisent et veulent jouer les tombeurs, à la Grande-Motte ou ailleurs, pendant ce qu’il reste de l’été : invitez donc une amie jolie et souriante à danser en boîte de nuit et affichez-vous avec elle. Les copieuses vont adorer.
Pierre Barthélémy
lire le billet
Abonnement aux flux
Derniers commentaires