La dette américaine : 45 tours Montparnasse pleines de billets verts

Il faut sauver la dette américaine, paraît-il. Le Monde titre à la “une” : “Les Etats-Unis se rapprochent du défaut de paiement”. Le journal du soir nous explique que “le déficit cumulé de l’Etat fédéral (son “plafond”) ne peut être augmenté qu’avec l’accord du Congrès. Sa limite actuelle, à 14 280 milliards de dollars (9 936 milliards d’euros), a été dépassée en mai. Depuis, Washington use d’expédients pour se financer. Mais les services du Trésor ont fixé au mardi 2 août la date butoir au-delà de laquelle ils ne pourront plus respecter leurs engagements obligatoires.” Des négociations serrées sont donc en cours entre la majorité républicaine et les démocrates (ainsi que la Maison blanche) pour remonter substantiellement le plafond, faute de réduire le déficit de l’Etat dans l’immédiat. Bref, c’est de l’économie. Mais, en voyant ce “14 280 milliards de dollars”, je me suis dit que ce chiffre ne voulait plus rien dire. Un chiffre à proprement parler “astronomique”.

L’astronomie est une discipline scientifique où les nombres prennent très vite des valeurs très importantes, notamment quand on parle de distances. A l’échelle de notre Terre, cela va encore avec un périmètre de 40 000 kilomètres, soit l’équivalent de ce que fait un gros rouleur chaque année. La distance Terre-Lune demeure elle aussi dans le domaine de l’entendement, avec un demi-grand axe de 384 000 km, un chiffre que peut indiquer le compteur kilométrique de certains taxis parisiens bien fatigués. En revanche, dès qu’on veut se promener dans le système solaire, dans la Voie lactée ou vers d’autres galaxies, notre petit kilomètre n’a plus grande signification. Dans le système solaire, on utilise l’unité astronomique (150 millions de kilomètres), qui est la distance moyenne Terre-Soleil. Au-delà, on passe à l’année-lumière, qui est la distance parcourue par la lumière dans le vide en une année, soit un peu moins de 10 000 milliards de kilomètres. L’étoile Polaire, située dans la constellation de la Petite Ourse, se trouve à 430 années-lumière de nous. Ce qui signifie que quand on la regarde, on voit en réalité la lumière que cet astre a envoyée il y a 430 ans, à l’époque où Henri III régnait sur la France…

Le déficit américain est un peu comme une galaxie lointaine : le chiffre qui lui correspond ne veut plus dire grand chose. A la seconde où j’écris ces mots, il s’élève à 14 292 823 millions de dollars, soit 142 928 230 000 coupures de 100 dollars. C’est beaucoup. Je me suis donc demandé si on pouvait imaginer un équivalent monétaire à l’année-lumière des astronomes. Mettre tous ces billets bout à bout n’est pas une très bonne idée car cela ferait une immense chaîne verte de plus de 22 millions de kilomètres. J’ai donc essayé de les empiler. Sachant que chacun de ces billets a une épaisseur de 0,11 millimètre, cela ferait une liasse de 15 722 kilomètres de haut, soit quasiment deux mille fois l’Everest… ce qui n’est pas un mode de représentation très explicite.

Pour trouver une comparaison plus parlante, je me suis donc intéressé au volume d’un “Benjamin Franklin”, comme les Américains surnomment le billet de 100 dollars. Celui-ci mesure 156 millimètres de long sur 66 de large et toujours 0,11 d’épaisseur. On pourrait demander à un ministre français de calculer le volume de ce bout de papier mais ce serait risqué étant donné la célèbre inculture mathématique des membres du gouvernement. Voici donc le résultat, très faible : 0,00000113256 mètre cube. Quand on le multiplie par le nombre de billets nécessaires pour combler le déficit de l’Etat fédéral américain, cela fait quand même 161 875 m3. Si l’on considère que chaque étage de la tour Montparnasse, à Paris, a une surface d’environ 1 700 m2, tous ces “Ben Franklin” rempliraient 95 mètres de hauteur, soit près de la moitié de la tour Montparnasse ! Il faudrait beaucoup de Tony Musulin pour, au choix, la remplir ou la vider. Evidemment, si j’avais retenu le billet de 1 dollar comme unité de base, la dette fédérale bourrerait 45 tours Montparnasse de ces coupures, puisque tous les billets américains ont le même format.

Pierre Barthélémy

Post-scriptum : dans le tableau synthétique du site usdebtclock.org, j’ai trouvé une ligne encore plus hallucinante, celle des “Currency and credit derivatives”, dont les chiffres des unités défilent encore plus vite que les rouleaux d’une machine à sous : 611 472 milliards de dollars. En billets de 100 dollars, la pile fait quasiment l’aller-retour Terre-Lune !

 

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Ces ministres nuls en maths

En rentrant chez eux après la classe hier, des milliers d’élèves de CM2 et, probablement, de collège, ont eu droit à un exercice de mathématiques supplémentaire, imposé par leurs parents : « 10 objets identiques coûtent 22 euros. Combien coûtent 15 de ces objets ? » Ceux qui ont répondu correctement, à savoir 33 euros, vont rater leur vie. Les autres ont toutes leurs chances de devenir ministres car s’il est un point commun à plusieurs des membres du gouvernement, c’est bien la nullité en maths.

A tout seigneur tout honneur, c’est le ministre de l’éducation nationale, Luc Chatel, qui vient d’illustrer brillamment cette triste affirmation. Invité de RMC hier, il a montré qu’il était incapable de faire une règle de trois pour répondre à la question citée plus haut, extraite du cahier d’évaluation des élèves de CM2, qui lui était posée par Jean-Jacques Bourdin. Le même Luc Chatel qui a récemment préconisé de faire faire 15 à 20 minutes de calcul mental chaque jour aux élèves de primaire, a répondu 16,50 euros (au lieu de 33). Un grand moment de solitude à regarder ici :


Passé la minute de rigolade, on tente de retracer le cheminement mental qui a pu conduire le ministre à ce nombre. On s’étonne en effet que, dans l’esprit d’un homme a priori éduqué, 15 objets puissent valoir moins que 10. Le fait que 16,50 soit la moitié de 33 nous donne cependant un indice : Luc Chatel, tout imprégné de la nouvelle doctrine gouvernementale qui oblige à ne plus remplacer un fonctionnaire sur deux partant à la retraite, a là aussi tenté d’avoir plus avec moins. On pourrait essayer de trouver des excuses au ministre de l’éducation dans son curriculum vitae. En effet, comme nous l’apprend sa fiche Wikipedia, Luc Chatel est né en 1964. Il s’est donc retrouvé à l’école primaire au début des années 1970, à une époque où l’expérience des maths modernes avait supprimé la bonne vieille règle de trois des manuels scolaires, remplacée par des tableaux de proportionnalité et le fameux produit en croix. Peut-être le ministre a-t-il fait partie de ces nombreux enfants perturbés par les notions assez abstraites des maths modernes… Cela dit, ayant obtenu par la suite une maîtrise des sciences de gestion, il aurait dû finir par maîtriser cette technique mathématique élémentaire.

Son prédécesseur au ministère de l’éducation nationale, Xavier Darcos, n’a, lui, pas l’excuse des maths modernes puisqu’il est né en 1947, mais il n’est pas plus à l’aise avec les enseignements de base. Lors d’une mémorable participation au Grand Journal de Canal Plus, il a non seulement été incapable de répondre à une question sur le passé antérieur (alors qu’il est agrégé de lettres classiques…) mais il a aussi séché sur la règle de trois, mettant son ignorance sur le dos des calculatrices. Ce qui est stupide car si les calculettes réalisent très bien les opérations, elles ne peuvent effectuer le raisonnement d’une règle de trois… Voici la vidéo de cet examen complètement raté :

A l’intention des ministres actuels ou des nombreux candidats à un maroquin, voici donc un petit rappel sur la règle de trois. Reprenons la question posée à Luc Chatel : « 10 objets identiques coûtent 22 euros. Combien coûtent 15 de ces objets ? » La règle de trois, connue au moins depuis Euclide, dit que pour obtenir le nombre manquant, il faut multiplier 15 par 22 et diviser le tout par 10, ce qui fait 33. Une autre façon de faire, qui revient exactement au même mais peut mieux se comprendre, consiste à réduire à l’unité, c’est-à-dire à déterminer le prix d’un seul objet (en divisant 22 par 10, ce qui donne 2,2), puis à le multiplier par le nombre d’objets voulu : 2,2 fois 15 font bien 33. La même opération a été faite mais, dans le second cas, elle a été décomposée dans un ordre bien précis.

Valérie Pécresse, pour sa part, n’est pas ministre de l’éducation nationale, mais de l’enseignement supérieur et de la recherche. Ce ne sont donc pas les notions de mathématiques de CM2 qui lui posent des problèmes, mais celles de… classe de troisième. Il ne s’agit plus de règle de trois mais de pourcentages d’augmentation appliqués à deux montants différents, que la ministre a indûment additionnés, comme la démonstration simple en a été faite par un professeur de mathématiques dans la vidéo ci-dessous. On ne saurait dire si l’erreur de Valérie Pécresse (formation HEC puis ENA…) est due à une déficience du raisonnement ou à de la malhonnêteté intellectuelle, étant donné qu’elle parlait, lors de la campagne des régionales en Ile-de-France, des hausses d’impôts votées par la gauche et qu’il valait sans doute mieux alourdir la barque de ses adversaires politiques…

Les pourcentages ne sont pas non plus le fort d’un autre énarque, Claude Guéant, ministre de l’intérieur, de l’outre-mer, des collectivités territoriales et de l’immigration. Celui-ci, sur la foi d’une étude de l’Insee mal lue ou mal comprise, a assuré que les deux tiers des échecs scolaires, c’est l’échec d’enfants d’immigrés”. Comme l’a très bien expliqué Libération, “cette phrase se rapporte à deux chiffres, exposés dans un tableau : 10,7% des enfants d’immigrés sortent du système scolaire sans qualification. Contre 6,1% pour les autres. Presque deux fois plus, donc. Mais, évidemment, cela ne signifie en aucun cas que deux tiers des enfants qui sortent sans qualification du système scolaire sont des fils d’immigrés, pour la raison évidente que les enfants d’immigrés ne représentent que 10 % du panel étudié (1 324 jeunes, sur les quelque 13 000 qui ont répondu à l’enquête)”. Il n’empêche. Claude Guéant a persisté et signé, comme pour illustrer le proverbe latin “Errare humanum est, perseverare diabolicum” (si M. Guéant me lit, il demandera une traduction à M. Darcos).

Si l’on reprend ces chiffres, on s’aperçoit que 10,7 % de 1 324 représentent 142 élèves. Pour obtenir le total des enfants en échec scolaire du panel, il faut d’abord calculer le nombre d’enfants en échec scolaire non issus de l’immigration, soit 6,1 % de 11 676 (13 000 moins 1 324), ce qui fait 712 élèves, auxquels s’ajoutent les 142 vus plus haut : 854 enfants. Quelle fraction de ce nombre représentent les enfants d’immigrés ? Afin que les ministres suivent mon raisonnement, je leur rappelle que le calcul d’un tel pourcentage se fait de la manière suivante : vous prenez l’échantillon particulier, vous le divisez par l’ensemble et multipliez par cent. Ce qui donne 142 divisé par 854 et multiplié par 100, soit 16,6 %. On est très loin des deux tiers.

Nul doute qu’à l’avenir, les membres du gouvernement réviseront leurs règles de trois ou leurs calculs de pourcentage avant de passer à la télé. Je suggère donc aux animateurs qui voudront les piéger de leur proposer un exercice célèbre mêlant les deux, connu sous le nom de paradoxe de la patate. (Non, le paradoxe de la patate ne parle pas des nuls qui deviennent ministres.) Pour un grand repas à l’Elysée, vous achetez 100 kilos de patates (le gouvernement aime les frites et Carla mange pour deux en ce moment). Sur ces 100 kg, 99 sont de l’eau et le kilo restant est la masse de la matière sèche. Mais voilà, vos patates sont un peu trop gorgées de flotte et vous décidez de les faire sécher pour que la proportion d’eau descende d’un point, à 98 %. Une fois ce séchage effectué, quelle est la masse totale des patates ?

La tentation est grande de faire directement une règle de trois (98 fois 100 divisé par 99 = 98,99) mais le raisonnement est erroné parce que la masse totale diminue entre les deux étapes. Intéressons-nous plutôt à ce qui ne change pas, à savoir le kilo de matière sèche. Au départ, il représentait 1% des 100 kilos. Maintenant, il représente 2% de la masse restante. Si ce kilo de matière sèche vaut 2% du total, la règle de trois nous dit que l’eau vaut 98 % fois 1 kg divisé par 2 %, soit 49 kg. Au total, les pommes de terre ne pèsent plus que 50 kg. Aussi étonnant que cela puisse paraître, passer de 99 % d’eau à 98 % a fait perdre la moitié de la masse au tas de patates. Mais peut-être Luc Chatel, avec sa manie de tout diviser par deux, aurait-il trouvé le bon résultat ?

Pierre Barthélémy

 

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Combien de moustiques pouvez-vous nourrir ?

Avec zéro pont au mois de mai, la fête du Travail et la commémoration de la victoire de 1945 tombant un dimanche, 2011 a été achetée par le patronat… Alors, bon, voici enfin le viaduc de l’Ascension, profitons-en, il fait beau, on va prendre l’apéritif dehors. Pour les moustiques, c’est aussi l’heure de l’apéro. Du moins, soyons justes, pour les femelles qui sont les seules à nous piquer, nous et une palanquée d’animaux à sang chaud ou froid, puisque les grenouilles et les serpents se font aussi attaquer, ainsi que certains insectes. Mais c’est sûr qu’un humain en bermuda ou en robe d’été fait une victime idéale : il y a de la surface.

Dame moustique a besoin de votre sang, non pas vraiment pour manger, étant donné qu’elle se nourrit essentiellement de nectar, mais pour obtenir les protéines dont elle a besoin afin de développer ses œufs avant la ponte. Le prélèvement sanguin est une étape indispensable dans le cycle reproducteur de la plupart des espèces de moustiques. L’insecte vous a repéré(e) de très loin, tout simplement parce que, étant vivant(e), vous respirez et transpirez (mort(e), vous éviteriez les piqûres de moustiques et un certain nombre d’autres problèmes comme les courses au supermarché, le samedi, avec le hit NRJ en fond sonore). Grâce à un système olfactif perfectionné, le diptère détecte en effet le dioxyde de carbone que vous expirez et toute une série de composants présents dans votre sueur. Si vous avez la chance d’exsuder une molécule qui lui déplaît, il vous évite. Sinon, le moustique s’approche, se pose, met sa serviette autour de son cou et sort ses couverts. En l’occurrence, un stylet piqueur très perfectionné qui empêchera votre corps de réagir convenablement à l’agression. Une fois que la peau est perforée, le stylet s’enfonce jusqu’à rencontrer un petit vaisseau sanguin. A ce moment-là, par le canal salivaire est injectée une substance qui anesthésie (le moustique est comme tout le monde, il ne veut pas se faire écrabouiller pendant le repas) et, surtout, qui empêche la coagulation. Le dîner peut commencer, un dîner pantagruélique, comme on peut le voir sur cette vidéo :

 

Le remplissage de la bestiole est spectaculaire, surtout si vous passez rapidement du début à la fin du petit film : on a l’impression d’être dans une station-service. Comme j’aime les chiffres et le calcul, je me suis demandé quelle quantité de sang la femelle moustique pouvait embarquer ainsi et quelle proportion de sa masse cela représentait. D’après les données que j’ai trouvées, le prélèvement moyen est de 5 millionièmes de litres. La densité du sang n’étant qu’à peine supérieure à celle de l’eau (1 kg/litre), on en déduit que l’insecte en ingurgite 5 milligrammes, soit deux fois sa propre masse étant donné qu’il pèse en moyenne 2,5 milligrammes ! Les vainqueurs des concours de buveurs de bière n’ont plus qu’à aller se rhabiller. Puisqu’on est dans les chiffres, petite devinette. A supposer qu’il puisse se faire siphonner entièrement de ses 5 litres de sang, pour combien de moustiques en mal de descendance un humain moyen pourrait-il servir de réserves de protéines ? Réponse simple : un million.

Pierre Barthélémy

Post-scriptum : N’oublions pas que, de tous les animaux, le plus dangereux pour l’homme est le moustique. A peu près à égalité avec l’homme, si l’on met bout à bout les accidents de la route, les guerres et les homicides divers.

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Le terrorisme, c’est mathématique

Attentat

Explosion d’une voiture piégée devant une église copte à Alexandrie le Jour de l’an : 21 morts. Attentat à la bombe sur un marché d’Abuja au Nigeria, le 31 décembre : 4 morts. Neuf personnes tuées au cours d’une série d’attentats en Irak le 2 janvier. Une autre bombe qui explose à Athènes le 30 décembre, sans blesser ni tuer quiconque. La liste des actes terroristes s’allonge inexorablement chaque jour, sans que les mains qui la dressent ne connaissent ni trève ni repos. La machine infernale, ce n’est pas seulement la bombe que l’on élabore, c’est aussi cette fabrique ininterrompue de la terreur.

Ininterrompue et parfaitement modélisable. Car les attentats, aussi imprévisibles semblent-ils être, répondent à une loi mathématique extrêmement robuste, ainsi que l’a montré depuis 2005 le jeune chercheur américain Aaron Clauset qui, comme il l’explique sur sa page personnelle, tente de “comprendre la structure, la fonction et la dynamique des systèmes complexes, qu’ils soient sociaux, biologiques ou technologiques”. Parmi ces systèmes complexes figure le terrorisme que ce physicien décortique froidement, de l’extérieur, sans aucunement entrer dans les motivations politiques de telle ou telle organisation. Il fait parler les chiffres, voilà tout.

Tout a commencé lorsqu’Aaron Clauset et son comparse Maxwell Young ont mis la main sur une base de données du Memorial Institute for the Prevention of Terrorism compilant les attentats terroristes commis dans le monde depuis 1968. Leur analyse de ces chiffres a pour la première fois montré que le terrorisme se conformait à une loi de puissance. Contrairement à ce que l’on pouvait croire, la répartition des attentats terroristes en fonction de leur gravité ne donne pas une courbe en cloche où la plupart des événements se concentre autour d’un point moyen, avec quelques rares exceptions. Une telle courbe pourrait difficilement intégrer des attentats extraordinaires comme ceux du 11-Septembre (qui ont fait près de 3 000 morts) ou celui du 7 août 1998 contre l’ambassade des Etats-Unis à Nairobi (plus de 200 tués et plus de 4 000 blessés). Avec la loi de puissance mise en évidence par Clauset et Young, ce problème disparaît et le 11-Septembre trouve sans encombre sa place sur la courbe, dans le prolongement des autres attentats. Cette courbe relie naturellement des événements très dissemblables, dont le point commun est que leur fréquence est inversement proportionnelle à leur gravité.

Cette propriété mathématique simple, qui a été identifiée dans de nombreux sujets d’étude aussi différents que l’intensité des séismes, la fréquence des mots dans un corpus ou la taille des villes américaines (mais pas la taille des humains qui suit, elle, une courbe en cloche), ne bouge pas même lorsque l’on classe les attentats suivant leurs modalités : qu’ils soient réalisés avec des explosifs, des armes à feu, des armes blanches, des incendies, des armes chimiques ou biologiques, ils suivent tous peu ou prou la même courbe. De la même manière, cette invariance se retrouve dans la répartition géographique des attentats, à ceci près que la gravité des actes terroristes commis dans les pays de l’OCDE est généralement plus importante que celle commis dans les pays hors-OCDE.

Ces travaux s’inscrivent dans la lignée de ceux de Lewis Richardson (1881-1953) sur les guerres que l’on peut aussi répartir sur une courbe similaire en fonction du nombre de personnes qu’elles ont tuées. Mais, hormis une description fidèle et cohérente de la réalité, on peut se demander quelle utilité a ce genre d’étude ? Comme l’explique Aaron Clauset dans le portrait que Michael Haederle lui a récemment consacré, “je ne peux pas vous dire s’il va y avoir une attaque quelque part mardi prochain, ou qui va la mener, ou pourquoi on va la mener. Je peux vous expliquer les structures générales, ce qui me permet de faire des choses intéressantes comme demander ‘Quel est le risque d’avoir des événements de la taille du 11-Septembre ? A quelle fréquence surviennent-ils ? Y a-t-il des structures dans le passé qui nous permettent de peindre un tableau général de ce qui pourrait survenir dans le futur ?’” On comprend mieux pourquoi plusieurs organismes gouvernementaux américains suivent ces travaux de près.

Les modèles qu’utilisent Aaron Clauset et ses collègues permettent également de simuler la manière dont se constituent, grandissent ou se dissolvent les groupes terroristes. Le résultat de ces simulations est très critique envers les services de renseignements américains, sa stratégie de “décapitation” des groupes terroristes et explique pourquoi elle ne fonctionne pas. “Il y a quelques années, quelqu’un a lancé une blague sur le fait que nous avions tué vingt fois le numéro 3 d’Al-Qaida en Irak, se rappelle Aaron Clauset. A chaque fois, ils le remplaçaient par quelqu’un d’autre. Nous avons besoin de comprendre le phénomène, pas le réseau. Le réseau n’est que la manifestation du phénomène.” C’est un physicien qui parle…

Autre point plus inquiétant dans son discours : le genre de courbe que suit le terrorisme présente aussi la particularité de laisser entendre que le pire est toujours possible, en tout cas beaucoup plus probable que dans une courbe en cloche. Pire que le 11-Septembre, c’est quoi ? “Le danger vient essentiellement du nucléaire, dit sans trop de surprise Aaron Clauset. Il est tout à fait dans le domaine du possible que, au cours des 50 prochaines années, une petite bombe atomique explose quelque part dans le monde lors d’une attaque terroriste.” En juin dernier, l’administration Obama a distribué aux responsables américains des urgences un guide de 130 pages destiné à leur prodiguer tous les conseils utiles en cas d’attentat à la bombe atomique. En fait, c’est déjà la deuxième version de ce guide…

Pierre Barthélémy

 

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Les fractales de Mandelbrot, c’est bête comme chou

Avec la mort, jeudi 14 octobre, du mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot, il y a fort à parier que  les fractales qu’il a inventées vont faire une apparition aussi remarquée qu’éphémère dans les dîners en ville. Vous imaginez déjà votre voisin(e) de table vous susurrer à l’oreille «Ne trouvez-vous pas que c’est fascinant les fractales?» sans que vous sachiez quoi lui répondre. Pourtant, il suffit de regarder le magnifique morceau de chou-fleur romanesco planté dans votre assiette pour lui en mettre plein la vue.

romanesco

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Pierre Barthélémy

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Nous sommes tous des vampires

Nosferatu

Image extraite de "Nosferatu le Vampire", de F. Murnau (1922)

Le film Daybreakers sorti en mars. Une histoire de vampires. Le troisième opus de la saga Twilight est arrivé sur les écrans en juillet et le quatrième débarquera dans les salles obscures en 2011. Encore des vampires. Et on nous promet un Blade 4 pour 2012… Toujours des vampires. Je ne sais pas si vous avez le même sentiment que moi, mais j’ai la nette impression que les vampires sont partout ! Et si c’était vrai ? Si c’était vrai, cela se saurait, me direz-vous. Mais non, ils sont partout : ils contrôlent les médias, Wikileaks, l’Etat, la maréchaussée, les statistiques de l’Insee, les dentistes, les marchands d’ail et de crucifix, les entreprises de pompes funèbres et les organismes de donneurs de sang… Une seule chose peut nous aider à établir la vérité : les mathématiques !

C’est à un calcul simple et amusant que je vous invite, un calcul qu’ont réalisé Costas Efthimiou et Sohang Gandhi dans un article retentissant publié en 2008 dans le Skeptical Inquirer. Partons des données de base, que tout le monde connaît : quand un vampire affamé plante pour se nourrir ses crocs dans la carotide d’un humain, celui-ci (s’il ne meurt pas) devient à son tour un vampire. Pour le dire en termes démographiques : à ce moment-là, la population vampire augmente de un, tandis que la population humaine diminue de un. Admettons, pour faire simple, que le vampire suit un régime (parce que le sang des humains d’aujourd’hui est vraiment très riche et très calorique) et qu’il ne mord qu’une fois par mois. Admettons aussi que le premier vampire est apparu sur Terre le 2 juin 2003 à minuit, moment auquel Stephenie Meyer, l’auteur de Twilight, a vu en rêve ce qui allait devenir la trame de ses romans. Ce jour-là, on le sait grâce au Bureau du recensement américain, la population mondiale est estimée à 6.304.006.665 personnes. Enlevons notre vampire originel, sans doute issu d’on ne sait quelle manipulation génétique réalisée par un savant fou, et cela nous fait 6.304.006.664 hommes et femmes. Au bout d’un mois, notre Adam à longues canines a fait un émule. Mais, dans le même temps, la population mondiale a augmenté de plus de 6 millions d’individus.

On peut se dire que le match est inégal, que le taux de reproduction des humains est bien supérieur à celui des Nosferatu et autres Dracula. C’est une erreur (du même genre que celle commise par le roi dans la légende des grains de blé sur l’échiquier de Sissa). Le nombre de vampires va augmenter rapidement en doublant chaque mois. Les mathématiciens parlent de “progression géométrique“. Certes, cela commence de façon modeste (2, 4, 8, 16, etc) mais cela ne cesse de s’accélérer. Pour vous en convaincre, prenez une calculatrice, faites 1×2 et continuez à multiplier le résultat par 2. Au bout du 30e mois, plus de 500 millions de vampires courent les rues. Un mois après, le milliard est dépassé et la population humaine est passée sous la barre des 6 milliards. Au cours du 34e mois, soit en mars 2006, le dernier représentant d’Homo sapiens a succombé. Depuis lors, j’imagine que nous nous nourrissons tous grâce à du sang de synthèse, que nous faisons produire dans des fermes de vaches génétiquement modifiées. Voilà pourquoi le cinéma et la littérature de vampires marchent si bien : ils parlent de nous.

Pierre Barthélémy

Post-scriptum : en réalité, Costas Efthimiou et Sohang Gandhi avaient utilisé ce calcul pour prouver que les vampires ne pouvaient pas exister. Tout le monde peut se tromper…

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20 est le nombre de Dieu… au Rubik’s Cube

Rubiks-cubeC’était il y a trente ans. Sous le sapin du Noël 1980 m’attendait un cadeau infernal : un cube à 6 faces de couleurs différentes, chacune décomposée en 9 pastilles carrées. Le cube du Hongrois Ernö Rubik venait de faire son entrée dans mon existence, tout comme il allait hanter des centaines de millions de foyers à la surface du globe. Je n’eus pas la ténacité de ce Britannique qui employa vingt-six années de sa vie à résoudre ce casse-tête sans la moindre aide et la solution me fut donnée par mon prof de maths de quatrième, sous la forme de quelques pages découpées dans une revue scientifique. Certes, il me fallut apprendre des formules absconses par cœur mais ce n’était pas si difficile que cela, surtout si l’on mettait en regard de cet effort l’aura que me valut le pouvoir presque magique de refaire ce maudit cube… Et puis, comme dans Toy Story 3, le jouet finit par me tomber des mains et rejoindre les jolis fantômes de mon enfance.

Puisque le temps passe, lorsque j’ai eu à mon tour des enfants, un Rubik’s Cube est réapparu chez moi. Bien sûr, j’avais oublié les deux tiers de mes formules. Il a donc fallu que je me documente pour, de nouveau, passer pour un dieu, cette fois aux yeux de mes fils. Ce qui m’a permis de découvrir des méthodes de résolution plus simples que la mienne ainsi que… les maths cachées derrière ce casse-tête. Surtout, j’ai appris qu’une énigme plus forte que le Rubik’s Cube lui-même résistait depuis des années aux chercheurs : quel était le nombre maximum de mouvements à effectuer pour reconstituer le cube, quelle que soit la position de départ ? Cette question pourra sembler complètement futile mais il s’agit en réalité d’un défi sérieux posé à une branche des mathématiques appelée théorie des groupes.

Pendant trente ans, elle a tenté de trouver la valeur de ce nombre maximal, surnommé le nombre de Dieu. Et elle vient d’y parvenir. Il faut dire que le travail était titanesque. Imaginez-vous qu’il y a exactement 43.252.003.274.489.856.000 positions de départ possibles. Si vous avez du mal à lire des nombres aussi longs, c’est plus de 43 milliards de milliards de positions. A côté de cela, le nombre de combinaisons à Euro Millions est ridiculement petit : 76.275.360, soit 567 milliards de fois moins… Evidemment, pour les chercheurs qui s’intéressaient au nombre de Dieu, pas question de vérifier les possibilités une par une.

Il leur fallait donc surmonter deux obstacles : le premier, purement mathématique, consistait à réduire le nombre de positions pertinentes (beaucoup de positions sont les miroirs des autres) et à élaborer un algorithme capable de calculer le nombre de mouvements nécessaire pour recomposer le cube ; le second, purement technique, à trouver assez de “temps d’ordinateur” pour faire tourner l’algorithme. Le mathématicien Morley Davidson, l’ingénieur John Dethridge, le professeur de mathématiques Herbert Kociemba et le programmeur Tomas Rokicki viennent d’y parvenir. Le nombre de Dieu est 20. Quelle que soit la position de départ du cube, il faut, en théorie, au maximum 20 coups de poignet pour que les six faces retrouvent leur uniformité de couleur. En réalité, de 16 à 19 mouvements suffisent la plupart du temps mais, pour 100 à 300 millions de positions, 20 sont nécessaires.

Pour obtenir ce résultat, le quatuor cité plus haut a divisé les quelque 43 milliards de milliards de combinaisons en 2.217.093.120 ensembles contenant chacun 19.508.428.800 positions. Puis, ils ont réduit le nombre d’ensembles à 55.882.296, en exploitant les symétries et les recouvrements d’ensembles. Ils ont ensuite écrit un programme qui parvenait à résoudre un ensemble en 20 secondes environ sur un bon ordinateur portable (4 cœurs, 2,8 GHz, pour les puristes qui ne manqueront pas de me le demander si je ne leur fournis pas ce détail). Mais il y avait comme un hic. Comme un rapide calcul le montre, même en ne prenant que 20 secondes pour chaque ensemble de 19,5 milliards de positions, avec 55.882.296 ensembles, il faut… 35 ans pour faire le tour de la question ! C’est là que John Dethridge a été utile. Il faut préciser que cet homme est ingénieur chez Google et que sa société possède beaucoup, mais alors beaucoup, d’ordinateurs. En répartissant la tâche sur plusieurs machines, le temps de calcul a été ramené à quelques semaines.

Il n’est pas sûr que ces travaux soient très utiles, en pratique, aux champions du Cube. D’autant que ceux-ci se sont déjà empiriquement rapprochés de Dieu. Les techniques actuelles de résolution nécessitent une trentaine de mouvements, voire moins. Le record du monde de rapidité est un époustouflant 7,08 secondes, réalisé par le Néerlandais Eric Akkersdijk en 2008. A savourer ci-dessous, même si la vidéo est de piètre qualité.

Pierre Barthélémy

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